Міністерство освіти і науки України Національний університет «Львівська політехніка» Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій Кафедра автоматизованих систем управління Звіт до лабораторної роботи №2 Ряд Фур’є  ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №2 Тема: Ряд Фур’є. Мета: Вивчити спектри найпростіших сигналів. Теоретичні відомості: В ряд Фур’є можуть бути розкладені періодичні сигнали. При цьому вони представляються у вигляді суми гармонічних функцій або комплексних експонент з частотами, що утворюють арифметичну прогресію. Для того щоб такий розклад існував, фрагмент сигналу довжиною в один період повинен задовольняти умови Дирихлє: Не повинно бути розривів другого роду (з відгалуженнями функцій, що уходять в нескінченність); Число розривів першого роду (скачків) повинно бути скінченним; Число екстремумів повинно бути скінченним (в якості приклада функції, яка на останньому інтервалі має нескінченне число екстремумів, можна привести sin(1/x) в околі нуля). В залежності від конкретної форми базисних функцій розрізняють декілька форм запису ряду Фур’є. Синусно-косинусна форма: В цьому варіанті ряд Фур’є має наступний вигляд:
(2.1) Тут
- кругова частота, що відповідає періоду повторення сигналу рівному T. Частоти
, що входять до формули і кратні круговій частоті, називаються гармоніки та нумеруються в залежності від індексу k; частота
називається k - ою гармонікою сигналу. Коефіцієнти ряду
та
розраховуються за формулами:
,
. Константа
розраховується за загальною формулою для
. Заради цієї загальності і введена трохи дивна на перший погляд форма запису постійного доданку (з діленням на два). Сам же доданок представляє собою середнє значення сигналу на періоді:
. Зауваження: Межі інтегрування не обов’язково повинні бути такими, як в наведених вище формулах (від
до
). Інтегрування може виконуватися за будь-яким інтервалом довжиною Т – результат від цього не зміниться. Конкретні межі вибираються для зручності обчислення; наприклад, може здатися зручніше виконати інтегрування від 0 до Т чи від –Т до 0. Якщо
є парною функцією, то всі
будуть рівними нулю і в формулі ряду Фур’є будуть присутні тільки косинусні складові. Якщо ж
є непарною функцією, нулю будуть дорівнювати, навпаки, косинусні коефіцієнти
і в формулі залишаться тільки синусні складові. Дійсна форма: Деяка незручність синусно-косинусної форми ряду Фур’є полягає в тому, що для кожного значення індексу додавання
(тобто для кожної гармоніки з частотою
) в формулах фігурують два доданки – синус і косинус. Скориставшись формулами тригонометричних перетворень, суму цих двох доданків можна трансформувати в косинус тієї ж частоти з іншою амплітудою та деякою початковою фазою:
(2.2) Якщо
є парною функцією фази
можуть приймати тільки значення 0 та
, а якщо
- функція непарна, то можливі значення для фази рівні
. Комплексна форма: Дана форма представлення ряду Фур’є найбільш часто використовується в радіотехніці. Вона одержується з дійсної форми представлення косинуса у вигляді напівсуми комплексних експонент (таке представлення витікає з формули Ейлера
:
. Застосувавши дане перетворення до дійсної форми ряду Фур’є, отримаємо суми комплексних експонент з додатними та від’ємними показниками:
. А тепер будемо трактувати експоненти зі знаком «мінус» в показнику як члени ряду з від’ємними номерами. В рамках цього ж загального підходу постійна складова
стане членом ряду з нульовим номером. В результаті отримаємо комплексну форму запису ряду Фур’є:
(2.3) Комплексні коефіцієнти ряду пов’язані з амплітудами
і фазами
, що фігурують в дійсній формі запису ряду Фур’є (2.2), наступними неважкими співвідношеннями:
,
,
. Неважко виглядають і формули зв’язку з коефіцієнтами
та
синусно-косинусної форми ряду Фур’є (2.1):
,

,
. Звідси зразу ж слідує формула безпосереднього розрахунку коефіцієнтів
ряду Фур’є в комплексній формі:
(2.4) Якщо ...